设a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边.求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.

问题描述:

设a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边.求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.

证明:充分性:当A=90°时,a2=b2+c2.…(2分)于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2-c2=0⇔[x+(a+c)][x+(a-c)]=0,该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c).…(5分)同样,x2+2cx-b2=0⇔[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,该方...