△ABC一边BC在平面α内，顶点A在平面α外，已知∠ABC=π3，三角形所在平面与α所成的二面角为π6，则直线AB与α所成角的正弦值为（ ） A.32 B.14 C.12 D.34
问题描述：
△ABC一边BC在平面α内，顶点A在平面α外，已知∠ABC=
，三角形所在平面与α所成的二面角为π 3
，则直线AB与α所成角的正弦值为（ ）π 6
A.
3
2
B.
1 4
C.
1 2
D.
3
4
答
作AO⊥α，交平面α于点O，
作OH⊥BC，交BC于点H，
连结AH，
得三角形所在平面与α所成的二面角为∠AHO=
，π 6
设AO=a，则AH=2a，
又∠ABC=
，π 3
则AB=
=AH sin∠ABC
=2a
3
2
a，4
3
3
连结BO，则∠ABO为直线AB与α所成角，
∴sin∠ABO=
=AO AB
=a
a4
3
3
．
3
4
∴直线AB与α所成角的正弦值为
．
3
4
故选：D．