(2011•杭州)设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数) (1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中,用描点法画出这两个特殊函数的图象; (2)根据所画

问题描述:

(2011•杭州)设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)
(1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中,用描点法画出这两个特殊函数的图象;
(2)根据所画图象,猜想出:对任意实数k,函数的图象都具有的特征,并给予证明;
(3)对任意负实数k,当x<m时,y随着x的增大而增大,试求出m的一个值.

(1)如两个函数为y=x+1,y=x2+3x+1,
函数图形如图所示;
(2)不论k取何值,函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象必过定点(0,1),(-2,-1),
且与x轴至少有1个交点.证明如下:
将x=0时代入函数中解出y=1,x=-2时代入函数中解出y=-1.
所以函数的图象必过定点(0,1),(-2,-1).
又因为当k=0时,函数y=x+1的图象与x轴有一个交点;
当k≠0时,
∵△=(2k+1)2-4k=4k2+1>0,所以函数图象与x轴有两个交点.
所以函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象与x轴至少有1个交点.
(3)只要写出m≤-1的数都可以.
∵k<0,
∴函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象在对称轴直线x=-

2k+1
2k
的左侧,y随x的增大而增大.
根据题意,得m≤-
2k+1
2k
,而当k<0时,-
2k+1
2k
=-1-
1
2k
>-1,
所以m≤-1.