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设A、B、C为三角形的三内角，且方程（sinB-sinA）x2+（sinA-sinC）x+（sinC-sinB）=0有等根，那么角B（　　） A.B＞60° B.B≥60° C.B＜60° D.B≤60°

分类: 作业答案 • 2023-01-13 16:18:57
问题描述：

设A、B、C为三角形的三内角，且方程（sinB-sinA）x2+（sinA-sinC）x+（sinC-sinB）=0有等根，那么角B（　　）
A. B＞60°
B. B≥60°
C. B＜60°
D. B≤60°

答

A、B、C为三角形的三内角，且方程（sinB-sinA）x2+（sinA-sinC）x+（sinC-sinB）=0有等根，
故有△=（sinA-sinC）2-4（sinB-sinA）（sinC-sinB）=0．
根据正弦定理得：（a-c）2-4（b-a）（c-b）=a2+c2-2ac-4（bc-b2-ac+ab）=（a2+c2+2ac）-4（ab+bc）+4b2
=（a+c）2-4b（a+c）+4b2=（a+c-2b）2=0，
即a+c=2b．
∴cosB=

a2+c 2−b2
2ac
=
(a+c)2−2ac−b2
2ac
=
3b2−2ac
2ac
=
3
2
•
b2
ac
-1，
∵（2b）2=（a+c）2≥4ac，∴b2≥ac，∴
3
2
•
b2
ac
-1≥
3
2
-1=
1
2
．
又∵-1＜cosB＜1，∴
1
2
≤cosB＜1，∴0＜B≤60°，
故选D．

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