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已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是π2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．

分类: 作业答案 • 2023-01-13 08:51:57
问题描述：

已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是

π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．

答

（Ⅰ） f(x)=2•

1+cos2ωx
2
+sin2ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx+2
=
2
(sin2ωxcos
π
4
+cos2ωxsin
π
4
)+2
=
2
sin(2ωx+
π
4
)+2
由题设，函数f（x）的最小正周期是
π
2
，可得
2π
2ω
=
π
2
，所以ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=
2
sin(4x+
π
4
)+2．
当4x+
π
4
=
π
2
+2kπ，即x=
π
16
+
kπ
2
(k∈Z)时，sin(4x+
π
4
)取得最大值1，
所以函数f（x）的最大值是2+
2
，此时x的集合为{x|x=
π
16
+
kπ
2
，k∈Z}．

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