已知点F(6,4)和直线L1:y=4x,求过P的直线L,使它和L1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小.

问题描述:

已知点F(6,4)和直线L1:y=4x,求过P的直线L,使它和L1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小.

设l与l1的交点为Q(x1,4x1),( x1>0),则l:y-4=

4x1−4
x1−6
(x-6),令y=0,得x=
5x1
x1−1
,∴l与x轴的交点R(
5x1
x1−1
,0)
∴S△OQR=
1
2
|yQ|•|OR|=
1
2
|4x1|•|
5x1
x1−1
|=
10
x 21
x1−1
(其中x1>1).令S=
10
x 21
x1−1

则10x12-sx1+s=0,∵x1∈R,∴△=s2-40s≥0.又S>0,∴s≥40,当s=40时,x1=2.
∴当x1=2时,△OQR的面积最小,其值为40,此时l:y-4=
8−4
2−6
(x-6),即x+y-10=0.
故答案为:x+y-10=0.