将f(X)=e^x展开成x的幂级数

问题描述:

将f(X)=e^x展开成x的幂级数

∵f(x)=ex,
∴f′(x)=f″(x)=.=f^n(x)=ex
∴f(0)=f′(0)=f″(0)=.=f^n(0)=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fn(x)|=|e^x|≤e^r(n=1,2)
所以函数ex可以在区间[-r,r]上展开成幂级数,
结果为
e^x=1+f'(0)x/1!+f"(0)x^2/2!+...+f^n(0)x^n/n!
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!