如图,矩形ABCD中,CH⊥BD,垂足为H,P点是AD上的一个动点(P与A、D不重合),CP与BD交于E点.已知CH=60/13,DH:CD=5:13,设AP=x,四边形ABEP的面积为y. (1)求BD的长; (2)用含x的代数式表示y.

问题描述:

如图,矩形ABCD中,CH⊥BD,垂足为H,P点是AD上的一个动点(P与A、D不重合),CP与BD交于E点.已知CH=

60
13
,DH:CD=5:13,设AP=x,四边形ABEP的面积为y.
(1)求BD的长;
(2)用含x的代数式表示y.

(1)在Rt△CHD中,cos∠CDB=

DH
DC
=
5
13

设DH=5k,DC=13k则CH=
DC2-DH2
=
(13k)2-(5k)2
=12k=
60
13
,即:k=
5
13

∴DH=
25
13
,DC=5,
在Rt△BCD中,BD=
DC
cos∠CDB
=5×
13
5
=13,
∴BD的长为13.
(2)如图,过点E分别作BC和PD的高,交BC于M,交PD于N.
∵PD∥BC,
∴△BCE∽△PDE.
PD
BC
=
EN
EM

∵BD=13,CD=5,根据勾股定理得:BC=12;
PD=AD-x=12-x,MN=AB=5,
PD
BC
=
EN
EM
,即
12-x
12
=
EN
5-EN

60-5x-(12-x)EN=12EN,
∴EN=
60-5x
24-x

∴△PDE的面积为:
1
2
×(12-x)
×
60-5x
24-x
=
5(12-x)2
2(24-x)

△ABD的面积为:
1
2
×12×5
=30;
四边形ABEP的面积为:y=30-
5(12-x)2
2(24-x)