如图,矩形ABCD中,CH⊥BD,垂足为H,P点是AD上的一个动点(P与A、D不重合),CP与BD交于E点.已知CH=60/13,DH:CD=5:13,设AP=x,四边形ABEP的面积为y. (1)求BD的长; (2)用含x的代数式表示y.
问题描述:
如图,矩形ABCD中,CH⊥BD,垂足为H,P点是AD上的一个动点(P与A、D不重合),CP与BD交于E点.已知CH=
,DH:CD=5:13,设AP=x,四边形ABEP的面积为y.60 13
(1)求BD的长;
(2)用含x的代数式表示y.
答
(1)在Rt△CHD中,cos∠CDB=
=DH DC
,5 13
设DH=5k,DC=13k则CH=
=
DC2-DH2
=12k=
(13k)2-(5k)2
,即:k=60 13
,5 13
∴DH=
,DC=5,25 13
在Rt△BCD中,BD=
=5×DC cos∠CDB
=13,13 5
∴BD的长为13.
(2)如图,过点E分别作BC和PD的高,交BC于M,交PD于N.
∵PD∥BC,
∴△BCE∽△PDE.
∴
=PD BC
,EN EM
∵BD=13,CD=5,根据勾股定理得:BC=12;
PD=AD-x=12-x,MN=AB=5,
∴
=PD BC
,即EN EM
=12-x 12
,EN 5-EN
60-5x-(12-x)EN=12EN,
∴EN=
,60-5x 24-x
∴△PDE的面积为:
×(12-x)×1 2
=60-5x 24-x
;5(12-x)2
2(24-x)
△ABD的面积为:
×12×5=30;1 2
四边形ABEP的面积为:y=30-
;5(12-x)2
2(24-x)