在公式（a+1）的平方=a的平方+2a+1中,当a分别取正整数1,2,3…n时,可以得到n个等式：（1+1)的平方=1的平方+2×1+1（2+1）的平方=2的平方+2×2+1（3+1）的平方=3的平方+2×3+1…（后面就是4的了）（n+1）的平方=n的平方+2n+1将这n个等式左、右两边分别相加,可推导出前n个正整数的和得公式,即1+2+3+…+n可以用含n的代数式表示,请你推导出此公式来,并利用它计算：①15+16+17+18+…+67②1+2+3+4+…+2009
问题描述：
在公式（a+1）的平方=a的平方+2a+1中,当a分别取正整数1,2,3…n时,可以得到n个等式：
（1+1)的平方=1的平方+2×1+1
（2+1）的平方=2的平方+2×2+1
（3+1）的平方=3的平方+2×3+1
…（后面就是4的了）
（n+1）的平方=n的平方+2n+1
将这n个等式左、右两边分别相加,可推导出前n个正整数的和得公式,即1+2+3+…+n可以用含n的代数式表示,请你推导出此公式来,并利用它计算：
①15+16+17+18+…+67
②1+2+3+4+…+2009
答
我们假设2²+3²+……（n+1）²=A
1²+2²+……n²=B
那么,明显的A+1-(n+1)²=B 对吧?
然后,按照题目给的那种方法求和,
左边=A
右边=B+2*（1+2+3+4+……+n）+n
把两个关于A和B的关系式代入,把A、B消掉,得到
2*（1+2+3+4+……+n）+n+1-(n+1)²=0
即1+2+3+4+……+n=[(n+1)²-n-1]/2=n(n+1)/2
则1+2+3……14= 14*15/2=105
1+2+3+……67= 67*68/2=2278
则 15+16+17……+67=2278-105=2173
1+2+3……+2009=2009*2010/2=2019045