一种变压器的铁芯的截面为正十字型，如图，为保证所需的磁通量，要求十字型具有45cm2的面积．问该如何设计正十字型的宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短？

答

设外接圆的半径为R cm，则 R=

1

2

x2+y2

．
　　由2xy-x²=4

5

，得 y=

4 5 +x2

2x

．
　　要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R²取最小值．
　　设 f（x）=R²=

1

4

[x²+（

4 5 +x2

2x

）²]=

5

16

x²+

5

x2

+

5

2

（0<x<2R）
     则 f'（x）=

5

8

x-

10

x3

．令f'（x）=0 解得x=2 或x=-2（舍去）．
　　当0<x<2 时f'（x）<0；当x>2 时，f'（x）>0．
　　因此当x=2时，R²最小，即R最小，周长最小为π

10+2 5

cm．