已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R,a>0). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
问题描述:
已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R,a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
答
(1)函数f(x)的定义域 为(0,+∞).
f′(x)=
-a=1 x
(2分)1−ax x
因为a>0,令f′(x)=
-a=0,可得x=1 x
;1 a
当0<x<
时,f′(x)=1 a
>0;当x>1−ax x
时,f′(x)=1 a
<0,1−ax x
故函数f(x)的单调递增区间为(0,
),单调递减区间为(1 a
,+∞).(4分)1 a
(2)①当0<
≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,1 a
∴f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.(6分)
②当
≥2,即0<a≤1 a
时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,1 2
∴f(x)的最小值是f(1)=-a.(8分)
③当1<
<2,即1 a
<a<1时,函数f(x)在(1,1 2
)上是增函数,在(1 a
,2)上是减函数.1 a
又∵f(2)-f(1)=ln2-a,
∴当
<a<ln 2时,f(x)的最小值是f(1)=-a;1 2
当ln2≤a<1时,f(x)的最小值为f(2)=ln2-2a.(10分)
综上可知,当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=-a;
当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=ln2-2a.(12分)