街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌,有一天,小明突然发现,在太阳光照射下,电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G,而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E,已知BC=5米,半圆形的直径为6米,DE=2米.(1)求电线杆落在广告牌上的影长(即弧CG的长度,精确到0.1米);(2)求电线杆的高度.

问题描述:

街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌,有一天,小明突然发现,在太阳光照射下,电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G,而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E,已知BC=5米,半圆形的直径为6米,DE=2米.

(1)求电线杆落在广告牌上的影长(即弧CG的长度,精确到0.1米);
(2)求电线杆的高度.

(1)∵G是半圆形广告牌的最高处,

CG
=
1
2
CD

CD
为半圆,半圆直径为6米,
CD
=
1
2
dπ=
1
2
×6π=3π,
CG
=
2
≈4.7(米),
∴电线杆落在广告牌上的影长约为4.7米.
(2)连接OF,过点G作GH⊥AB于H,则BOGH是矩形.

OG=3,BO=BC+CO=8,
∴BH=3,GH=8.
∵FE是⊙O的切线,
∴∠OFE=90°
∴FE=
OE2-OF2
=4.
∵太阳光线是平行光线,
∴AG∥EF,
又∵GH∥OE,
∴∠E=∠AGH.
又∵∠OFE=∠AHG=90°,
∴△AGH∽△OEF,
FE
HG
=
OF
AH
,即
4
8
=
3
AH

解得AH=6.
即AB=AH+HB=6+3=9.
答:电线杆落在广告牌上的影长约为4.7米,电线杆的高度为9米.
答案解析:(1)根据弧长公式进行计算;
(2)连接OF,过点G作GH⊥AB于H,根据勾股定理以及相似三角形的性质进行计算.
考试点:相似三角形的应用;勾股定理;切线的性质.
知识点:掌握弧长的计算方法,熟练运用勾股定理以及相似三角形的判定和性质.