已知函数f（x）=2sin（ωx）,其中常数ω＞0 （1）若y=f（x）在[-π 4 ,2π 3 ]上单调递增,求ω的取值
已知函数f（x）=2sin（ωx）,其中常数ω＞0 （1）若y=f（x）在[-π 4 ,2π 3 ]上单调递增,求ω的取值
2）令ω=2,将函数y=f（x）的图象向左平移 π/6
个单位,在向上平移1个单位,得到函数y=g（x）的图象,区间[a,b]（a,b∈R,且a＜b）满足：y=g（x）在[a,b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值．
（1）已知函数y=f（x）在[−π /4 ,2π /3 ]上单调递增,且ω＞0,利用正弦函数的单调性可得π /2ω ≥2π /3 ,且−π /2ω ≤−π /4 ,解出即可；
（2）利用变换法则“左加右减,上加下减”即可得到g（x）=2sin2(x+π/ 6 )+1．令g（x）=0,即可解出零点的坐标,可得相邻两个零点之间的距离．若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间[a,mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点,所以在区间[a,14π+a]是恰有29个零点,从而在区间（14π+a,b]至少有一个零点,即可得到a,b满足的条件．进一步即可得出b-a的最小值．
解得0＜ω≤3/ 4 ．
（2）f（x）=2sin2x,∴把y=f（x）的图象向左平移π 6 个单位,在向上平移1个单位,得到y＝2sin2(x+π 6 )+1,
∴函数y=g（x）=2sin2(x+π 6 )+1,
令g（x）=0,得x＝kπ+5π/ 12 ,或x=kπ+3π/ 4 （k∈Z）．
∴相邻两个零点之间的距离为π/ 3 或2π/ 3 ．
若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,mπ+a]（m∈N*）分别恰有3,5,…,2m+1个零点,
所以在区间[a,14π+a]是恰有29个零点,从而在区间（14π+a,b]至少有一个零点,
∴b−a−14π≥π/ 3 ．
另一方面,在区间[5π/ 12 ,14π+π /3 +5π /12 ]恰有30个零点,
因此b-a的最小值为14π+π/ 3 ＝(43π) /3 ．