傅里叶级数与狄利克雷定理的关系
问题描述：
傅里叶级数与狄利克雷定理的关系
为什么将函数展开为傅里叶级数时,一定要判断它是否收敛呢?跟和函数又有什么关系呢?
答
这里涉及两个函数
(1)事先给定一个函数f(x)
(2)根据f(x)构造一个Fourier级数,这是一个形式上的无穷项的和,和函数F(x)不一定存在.所以要判断它是否收敛.如果不收敛,f(x)与F(x)就毫无关系.
(3)如果判断出Fourier级数收敛,其和函数为F(x),而F(x)也不一定是f(x)
(4)Dirichlet定理指出,满足收敛定理2条件时,和函数F(x)恰等于f(x)在点x处左右极限的平均值.
用一个生活中的例子来阐明这过程：
（1）事先给您一只动物（如小兔）的旧衣服,小兔的旧衣服就是f(x)
（2）您根据小兔的旧衣服为它做一件新衣服,新衣服就是F(x),但是衣服F(x)未必能穿（未必收敛）
（3）即使能穿（收敛）,新旧衣服也不一定大小完全一样(f与F未必相同）
（4）如果满足一定条件,新衣服F(x)在某些地方（f(x)连续点）与旧衣服f(x)完全相同.新衣服F(x)在某些地方（f(x)的不连续点,像衣服的破洞）与旧衣服f(x)是不相同的.