高等代数循环行列式求值利用行列式乘法证明下列循环行列式之值等于f(w1)f(w2).f(wn),其中f(x)=a1+a2x+a3x^2+.+anx^n-1,而w1,w2,.,wn为1的全体n次复根：a1 a2 a3.anan a1 a2.an-1an-1 an a1.an-2.a2 a3 a4.a1顺便求一下,当ai=cos(ix)时行列式的值
问题描述：
高等代数循环行列式求值
利用行列式乘法证明下列循环行列式之值等于f(w1)f(w2).f(wn),其中f(x)=a1+a2x+a3x^2+.+anx^n-1,而w1,w2,.,wn为1的全体n次复根：
a1 a2 a3.an
an a1 a2.an-1
an-1 an a1.an-2
.
a2 a3 a4.a1
顺便求一下,当ai=cos(ix)时行列式的值
答
A=
a1 a2 a3 ... an
an a1 a2 ... an-1
an-1 an a1 ... an-2
... ...
a2 a3 a4 ... a1
设 V=
1 1 ... 1
ε1 ε2 ... εn
ε1^2 ε2^2 ... εn^2
ε1^n-1 ε2^n-1 ... εn^n-1
则 |A||V| = |AV| =
f(ε1) f(ε2) ... f(εn)
f(ε1)ε1 f(ε2)ε2 ... f(εn)εn
... ...
f(ε1)ε1^n-1 f(ε2)ε2^n-1 ... f(εn)εn^n-1
= f(ε1)f(ε2)...f(εn)|V|
由于 ε1,ε2,...,εn 两两不同, 所以 |V|≠0
所以 |A|=f(ε1)f(ε2)...f(εn).