证明:f(x,y)=|xy|在点(0,0)处连续,fx(0,0)与fy(0,0)存在,在(0,0)处不可微.
问题描述:
证明:f(x,y)=
在点(0,0)处连续,fx(0,0)与fy(0,0)存在,在(0,0)处不可微.
|xy|
答
证明:∵
f(x,y)=0=f(0,0)lim (x,y)→(0,0)
∴f(x,y)=
在(0,0)连续
|xy|
∵fx(0,0)=
lim x→0
=0,fy(0,0)=f(x,0)-f(0,0) x
lim y→0
=0f(0,y)-f(0,0) y
∴f(x,y)=
在(0,0)的两个一阶偏导数存在.
|xy|
∵△f(0,0)=f(△x,△y)-f(0,0)=
|△x•△y|
∴△f(0,0)-fx(0,0)△x-fy(0,0)△y=
|△x•△y|
∴
=△f(0,0) ρ
|△x•△y|
(△x)2+(△y)2
若令△x=rcosθ,△y=rsinθ,则有
=△f(0,0) ρ
=r|sinθ•cosθ|
r2|sinθ•cosθ| r
∴
lim ρ→0
=△f(0,0) ρ
r|sinθ•cosθ|=0lim r→0
∴f(x,y)=
在(0,0)处可微.
|xy|