已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1.3).
问题描述：
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1.3).
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式
（2）若f(x)的最大值为正数,求a得取值范围
答
f(x)=ax^2+bx+c
f(x)>-2x
ax^2+(b+2)x+c>0解集是（1,3）
所以1和3是方程ax^2+(b+2)x+c=0的根
所以1+3=-(b+2)/a,1*3=c/a
b=-4a-2,c=3a
f(x)+6a=ax^2+bx+c+6a=0有两个相等的根
b^2-4a(c+6a)=0
(-4a-2)^2-4a(3a+6a)=0
16a^2+16a-36a^2=0
二次函数a不等于0
所以a=4/5
b=-26/5,c=12/5
f(x)=4x^2/5-26x/5+12/5
b=-4a-2,c=3a
f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a
有最大值,所以af(x)=a[x-(2a+1)/a]^2-(2a+1)^2/a+3a
最大值=-(2a+1)^2/a+3a>0
a-(2a+1)^2+3a^2-4a^2-4a-1+3a^2a^2+4a+1>0
a>-2+√3,a所以a