已知三棱锥O-ABC中,OA、OB、OC两两互相垂直,OC=1,OA=x,OB=y,若x+y=4,则三棱锥O-ABC体积的最大值是_.

问题描述:

已知三棱锥O-ABC中,OA、OB、OC两两互相垂直,OC=1,OA=x,OB=y,若x+y=4,则三棱锥O-ABC体积的最大值是______.

∵x>0,y>0且x+y=4,
由基本不等式得:
xy≤(

x+y
2
)2=4
又∵OA、OB、OC两两互相垂直,OC=1,
∴三棱锥O-ABC体积V=
1
3
×
1
2
×OA×OB×OC
=
1
6
xy
2
3

即三棱锥O-ABC体积的最大值是
2
3

故答案为:
2
3