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已知函数f（x）=1/2x2+lnx． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）求证：当x＞1时，1/2x2+lnx＜2/3x3．

分类: 作业答案 • 2023-01-10 13:15:03
问题描述：

已知函数f（x）=

1
2
x2+lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞1时，
1
2
x2+lnx＜
2
3
x3．

答

（1）依题意知函数的定义域为{x|x＞0}，
∵f′（x）=x+

1
x
，∴f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
（2）证明：设g（x）=
2
3
x3-
1
2
x2-lnx，
∴g′（x）=2x2-x-
1
x
，
∵当x＞1时，g′（x）=
(x−1)(2x2+x+1)
x
＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（1）=
1
6
＞0，
∴当x＞1时，
1
2
x2+lnx＜
2
3
x3．

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