如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC=5cm,AB=12cm,CD=6cm,点Q从C开始沿CD边向D移动,速度是每秒1厘米,点P从A开始沿AB向B移动,速度是点Q速度的a倍,如果点P,Q分别从A,C同时出发,当其中
问题描述:
如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC=5cm,AB=12cm,CD=6cm,点Q从C开始沿CD边向D移动,速度是每秒1厘米,点P从A开始沿AB向B移动,速度是点Q速度的a倍,如果点P,Q分别从A,C同时出发,当其中一点到达终点时运动停止.设运动时间为t秒.已知当t=
时,四边形APQD是平行四边形.3 2
(1)求a的值;
(2)线段PQ是否可能平分对角线BD?若能,求t的值,若不能,请说明理由;
(3)若在某一时刻点P恰好在DQ的垂直平分线上,求此时t的值.
答
(1)∵四边形APQD是平行四边形
∴6-
=3 2
a,3 2
即:a=3;
(2)若线段PQ平分对角线BD,即DO=BO,
在△DOQ和△BOP中,
∵
,
∠QDO=∠OBP DO=OB ∠DOQ=∠POB
∴△DOQ≌△BOP(ASA)
∴DQ=BP
即:6-t=12-3t,
解得:t=3;
(3)分别过点C、D作CN⊥AB,DM⊥AB,交AB于点M、N
可得:四边形DMNC是矩形,
∴∠AMD=∠CNB=90°,AD=BC,DM=CN,
在Rt△DAM和Rt△CBN中
∵
,
AD=BC DM=CN
∴Rt△DAM≌Rt△CBN(HL),
∴AM=
=312-6 2
∵点P在DQ的垂直平分线EP上
∴PD=PQ,DE=
DQ,四边形DEPM是矩形1 2
∴DE=PM,
即:
=3t-3,6-t 2
解得:t=
.12 7