三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=AP=2,D为AB中点,E为BC中点,则点D到直线PE的距离等于_.

问题描述:

三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=AP=2,D为AB中点,E为BC中点,则点D到直线PE的距离等于______.

连接PD、DE.
因为PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PA⊥AC,
又AB⊥AC,且PA∩AB=A,所以AC⊥平面PAB,
因为D、E分别为AB、BC的中点,所以DE∥AC,所以DE⊥平面PAB
因为PD⊂平面PAD,所以PD⊥DE,即△PDE为直角三角形
因为AB=AC=AP=2,所以DE=1、PD=

5
、PE=
6

设DF为点D到直线PE的距离,则
在直角△PDE中,由等面积可得:DF=
PD•DE
PE
=
30
6

所以点D到直线PE的距离等于
30
6

故答案为:
30
6