如何用热传导方程以及拉普拉斯方程算物体表面温度问题
问题描述：
如何用热传导方程以及拉普拉斯方程算物体表面温度问题
我在做用热传导方程以及拉普拉斯方程算岩体表面温度的题,要求是设岩体温度为恒温,大气温度t是变化的,算掩体表面或者是很薄的表面岩层的温度变化,要求有计算过程,以及结果.挺难的,
由于各点温度相等，导师说可以把其看作为一维问题
答
首先这是物理问题,关键在于你建立什么样的模型,哪些物理量要考虑而哪些忽略,至于计算是很简单的,几个微分方程而已.
另外如果把岩体温度看作恒定,那么唯一的热传导发生在岩石表面和空气之间,那么就用不上laplace方程,而要用j=k(T0-T)这个对流传导的式子.
事实上比较好的做法是考虑一维方向上完整的热传导,既有空气-岩石又有岩石内部的过程.
具体来说,设岩石温度为T(z,t),空气温度T0,然后需要给定T(z,t=0)这个初始值,并满足下面几个要求：
1.T(z,t)满足laplace方程
2.当z->-infinity,T(z,t)->T1,T1为岩石深处的恒定温度
3.在z=0也就是表面,满足j(t)=k(T0(t)-T(z,t))
4.在z=0,两种传导方式的热流量相等,即
-lamda*(gradT|z=0)=k(T0-T) (E)
这样就有了完整的物理过程,剩下只要先利用(E)算出T(z,t)的表达式,再结合laplace方程的通解求出特解即可.必要时可能要用到Fourrier级数,这取决于T0(t)的形式.