计算∭Ω(x2+y2)dxdydz,其中Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的有界闭区域.

问题描述:

计算

Ω
(x2+y2)dxdydz,其中Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的有界闭区域.

由题意,Ω={(x,y,z)|12(x2+y2)≤z≤2,(x,y)∈Dxy},其中Dxy={(x,y)|x2+y2≤4}∴Ω={(r,θ,z)|0≤θ≤2π,0≤r≤2,12r2≤z≤2}∴∭Ω(x2+y2)dxdydz=∫2π0dθ∫20rdr∫212r2r2dz=2π∫20r3(2−12r2)dr=1...
答案解析:将积分立体区域写成柱面坐标系的形式,求解即可.
考试点:利用柱坐标计算三重积分.
知识点:此题考查柱面坐标系下的三重积分形式,要注意体积元素dxdydz=rdrdθdz.另外此题也可以用截面法计算,也比较简单.