设数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}满足bn=anan+m(m∈N)．（Ⅰ）若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；（Ⅱ）是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt（t∈N，t≥5）成等差数列？若存

分类: 作业答案 • 2023-01-08 17:17:33

问题描述：

设数列{a_n}的前n项和S_n=n²，数列{b_n}满足b_n=

an+m

(m∈N*)．
（Ⅰ）若b₁，b₂，b₈成等比数列，试求m的值；
（Ⅱ）是否存在m，使得数列{b_n}中存在某项b_t满足b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．

答

（Ⅰ）因为S_n=n²，所以当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1 …（3分）
又当n=1 时，a₁=S₁=1，适合上式，所以a_n=2n-1 （n∈N^* ）…（4分）
所以bn＝

2n−1

2n−1+m

则b1＝

1+m

，b2＝

3+m

，b8＝

15+m

由b₂²=b₁b₈，
得(

3+m

)2＝

1+m

15+m

解得m=0 （舍）或m=9
所以m=9 …（7分）
（Ⅱ）假设存在m
使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列，即2b₄=b₁+b_t，
则2×

7+m

＝

1+m

2t−1

2t−1+m

化简得t＝7+

m−5

…（12分）
所以当m-5=1，2，3，4，6，9，12，18，36 时，
分别存在t=43，25，19，16，13，11，10，9，8 适合题意，
即存在这样m，且符合题意的m 共有9个 …（14分）

设数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}满足bn=anan+m(m∈N*)． （Ⅰ）若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值； （Ⅱ）是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt（t∈N*，t≥5）成等差数列？若存