设f(x)在R上有定义,且任意阶导数都存在,若对所有n>=0都有|f^(n)(x)|

问题描述:

设f(x)在R上有定义,且任意阶导数都存在,若对所有n>=0都有|f^(n)(x)|

注意x=0处各阶导数都为零
取f的带Lagrange型余项的Maclaurin展开式
f(x) = 0 + 0x + 0x^2 + ... + 0x^{n-1} + f^(n){ξ} x^n / n!
于是|f(x)| oo} x^{2n} / n! = 0,所以f(x)=0貌似只能得到|f(x)| oo}f(x)=0,所以有f(x)=0 ,感觉好奇怪哦~我还是觉得无论如何都只能说明f(x)趋于0 ,等于0无法严格说明首先要明确,这里x是任意的一个非零常数,不是变量|f(x)| 0,取ε=|f(x)|>0,那么存在正整数N当n>N时|x^{2n} / n!|