已知lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0,求 lim x→0 [6+f(x)]/x^2?
问题描述：
已知lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0,求 lim x→0 [6+f(x)]/x^2?
为什么不可以这样解
因为lim x→0 [sin6x/(6x)]=1
所以,
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6+f(x)]/x^2
=0
这哪里错了?
答
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3你的这一步是错误的,等价无穷小的替换原则只能是因式乘积时候才可以.举个简单例子lim x→0 [sinx-x]/x^3,如果按照你的那种做法,显然结果是0.实际上答案是-1/6.此...如果这样呢 lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0=limsin6x /x^3+ lim xf(x)]/x^3=lim6x/x^3 +limf(x)]/x^2=lim[6+f(x)]/x^2你是这个意思吧：lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=limsin6x /x^3+ lim xf(x)]/x^3=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3=lim x→0 [6+f(x)]/x^2。很显然，这样子也是错误的。错误在于第一步将极限拆分，也就是应用极限的四则运算，此时要严格按照四则运算的前提条件，也就是拆分后两部分的极限都存在。很显然lim sin6x /x^3极限为无穷大，不存在，故不可拆分。希望你能理解极限。