有一个自然数,它与160的和等于某一个数的平方,它与84的和又等于另一个数的平方,那么,这个自然数是_.

问题描述:

有一个自然数,它与160的和等于某一个数的平方,它与84的和又等于另一个数的平方,那么,这个自然数是______.

设这个自然数为x,它与160的和是m的平方.与84的和是n的平方,所以有:
x+160=m2,x+84=n2
m2-n2=(m-n)×(m+n)=76,
因为m-n和m+n奇偶性相同,76是偶数,所以m-n和m+n都是偶数,且76分解为两个偶数的乘积只有76=2×38,所以:
(m-n)(m+n)=2×38=(20-18)×(20+18)
m=20,n=18.
所以x+160=202,x=240.
故答案为:240.