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如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．二次函数y=-x2+bx+3的图象经过点A（-1，0），顶点为B．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B的坐标；（2）如果点C的坐标为（4，0），AE⊥BC，垂足为点E，点D在直线AE上，DE=1，求点D的坐标．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:06:45
问题描述：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．二次函数y=-x2+bx+3的图象经过点A（-1，0），顶点为B．

（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B的坐标；
（2）如果点C的坐标为（4，0），AE⊥BC，垂足为点E，点D在直线AE上，DE=1，求点D的坐标．

答

（1）∵二次函数y=-x2+bx+3的图象经过点A（-1，0），
∴0=-1-b+3，
解得：b=2，
所求二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，
则这个二次函数图象顶点B的坐标为（1，4）；
（2）过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，
在Rt△BCF中，BF=4，CF=3，BC=5，
∴sin∠BCF=

4
5
，
在Rt△ACE中，sin∠ACE=
AE
AC
，
又∵AC=5，可得
AE
5
＝
4
5
，
∴AE=4，
过点D作DH⊥x轴，垂足为点H．由题意知，点H在点A的右侧，
易证△ADH∽△ACE，
∴
AH
AE
=
DH
CE
=
AD
AC
，
其中CE=3，AE=4，
设点D的坐标为（x，y），则AH=x+1，DH=y，
①若点D在AE的延长线上，则AD=5，

得
x+1
4
＝
y
3
＝
5
5
，
∴x=3，y=3，
所以点D的坐标为（3，3）；
②若点D在线段AE上，则AD=3．

得
x+1
4
＝
y
3
＝
3
5
，
∴x＝
7
5
，y＝
9
5
，所以点D的坐标为（
7
5
，
9
5
）．
综上所述，点D的坐标为（3，3）或（
7
5
，
9
5
）．
答案解析：（1）将点A的坐标代入，可得出b的值，从而求出函数解析式，然后可得出顶点坐标；
（2）过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，过点D作DH⊥x轴，垂足为点H．由题意知，点H在点A的右侧，则可得出△ADH∽△ACE，从而有
AH
AE
=
DH
CE
=
AD
AC
，然后分别讨论，①若点D在AE的延长线上，则AD=5，解出x和y的值，若点D在线段AE上，则AD=3，同理也可求出点D的坐标．
考试点：二次函数综合题．

知识点：此题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质，解答本题的难点是第二问，关键是分类讨论，注意不要漏解，难度一般．

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