已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根,则a2bc+b2ca+c2ab的值为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3

问题描述:

已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根,则

a2
bc
+
b2
ca
+
c2
ab
的值为(  )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

x0是它们的一个公共实数根,
则ax02+bx0+c=0,bx02+cx0+a=0,cx02+ax0+b=0.
把上面三个式子相加,并整理得
(a+b+c)(x02+x0+1)=0.
因为

x 20
+x0+1=(x0+
1
2
)2+
3
4
>0,
所以a+b+c=0.
于是
a2
bc
+
b2
ca
+
c2
ab
a3+b3+c3
abc
a3+b3(a+b)3
abc
=
−3ab(a+b)
abc
=3

故本题选D.