已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根,则a2bc+b2ca+c2ab的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
问题描述:
已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根,则
+a2 bc
+b2 ca
的值为( )c2 ab
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答
x0是它们的一个公共实数根,
则ax02+bx0+c=0,bx02+cx0+a=0,cx02+ax0+b=0.
把上面三个式子相加,并整理得
(a+b+c)(x02+x0+1)=0.
因为
+x0+1=(x0+
x
20
)2+1 2
>0,3 4
所以a+b+c=0.
于是
+a2 bc
+b2 ca
=c2 ab
=
a3+b3+c3
abc
=
a3+b3−(a+b)3
abc
=3−3ab(a+b) abc
故本题选D.