设函数f(x)=cos(x+2/3π)+2cos2x/2,x∈R. (1)求f(x)的值域; (2)记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=3,求a的值.
问题描述:
设函数f(x)=cos(x+
π)+2cos22 3
,x∈R.x 2
(1)求f(x)的值域;
(2)记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=
,求a的值.
3
答
(I)f(x)=cos(x+
π)+2cos22 3
x 2
=cosxcos
π-sinxsin2 3
π+cosx+12 3
=-
cosx-1 2
sinx+cosx+1
3
2
=
cosx-1 2
sinx+1
3
2
=sin(x+
)+15π 6
因此函数f(x)的值域为[0,2]
(II)由f(B)=1 得sin(B+
)+1=1,即sin(B+5π 6
)=0,即B+5π 6
=0或π,B=5π 6
或-π 6
5π 6
又B是三角形的内角,所以B=
π 6
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB
即1=a2+3-3a,整理a2-3a+2=0
解得a=1或a=2
答:(I)函数f(x)的值域为[0,2]
(II)a=1或a=2