设函数f(x)=cos(x+2/3π)+2cos2x/2,x∈R. (1)求f(x)的值域; (2)记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=3,求a的值.

问题描述:

设函数f(x)=cos(x+

2
3
π)+2cos2
x
2
,x∈R.
(1)求f(x)的值域;
(2)记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=
3
,求a的值.

(I)f(x)=cos(x+

2
3
π)+2cos2
x
2

=cosxcos
2
3
π-sinxsin
2
3
π+cosx+1
=-
1
2
cosx-
3
2
sinx+cosx+1
=
1
2
cosx-
3
2
sinx+1
=sin(x+
6
)+1
因此函数f(x)的值域为[0,2]
(II)由f(B)=1 得sin(B+
6
)+1=1,即sin(B+
6
)=0,即B+
6
=0或π,B=
π
6
或-
6

又B是三角形的内角,所以B=
π
6

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB
即1=a2+3-3a,整理a2-3a+2=0
解得a=1或a=2
答:(I)函数f(x)的值域为[0,2]
(II)a=1或a=2