已知函数f(x)=x2+ax+b,集合A={x|f(x)=0},B={x|f(x)=3x},空集∅. (1)若函数f(x)为偶函数,且A≠∅,求实数b的取值范围; (2)若B={a},求函数f(x)的解析式.

问题描述:

已知函数f(x)=x2+ax+b,集合A={x|f(x)=0},B={x|f(x)=3x},空集∅.
(1)若函数f(x)为偶函数,且A≠∅,求实数b的取值范围;
(2)若B={a},求函数f(x)的解析式.

解(1)∵f(x)=x2+ax+b为偶函数,∴f(-x)=f(x),
即x2-ax+b=x2+ax+b,
∴a=0.∴f(x)=x2+b.
∵A≠∅,即x2+b=0有实数根,
∴b≤0.
(2)∵B={a},∴由f(x)=3x,
得x2+(a-3)x+b=0
则方程有两个相等实根x1=x2=a,

2a=3−a
a2=b
,得
a=1
b=1

∴f(x)=x2+x+1.