三角形中a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=派/3,求角B的正弦值
问题描述：
三角形中a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=派/3,求角B的正弦值
答
因为 a+c=2b
由正弦定理可以知道 sinA+sinC=2sinB ①
由 积化和差公式 知
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
因为A+B+C=180°,A-C=60°
所以
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
=2*sin(90°-B/2)*cos30°
=√3cos(B/2) ②
由①②两式得
2sinB=√3cos(B/2)
而sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)
所以
4sin(B/2)*cos(B/2)=√3cos(B/2)
得sin(B/2)=√3/4
因为B/2一定是锐角,
所以cos(B/2)=√13/4
所以
sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)=√39/8