微分方程y″+2y′+y=xe-x的通解为______．

问题描述：

微分方程y″+2y′+y=xe^-x的通解为______．

答

由于特征方程为r²+2r+1=0，解得特征根为r=-1（2重）
∴齐次方程的通解为y＝(C1+C2x)e−x
而f（x）=xe^-x，λ=-1
故有特y^*=x²（ax+b）e^-x，
代入微分方程y″+2y′+y=xe^-x，解得
a＝

，b＝0
∴特解y*＝

x3e−x
∴通解为：
y＝(C1+C2x+

x3)e−x
答案解析：首先，将对应齐次方程的特征根求出来；然后根据xe^-x和特征根，求得其特解形式．
考试点：二阶常系数非齐次线性微分方程求解．
知识点：此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，是基础知识点．