已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边长为5．（1）试说明方程必有两个不相等的实数根；（2）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（3）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
问题描述：
已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边长为5．
（1）试说明方程必有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
答
（1）证明：∵△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1，∴△＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2﹚当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，有AB2+AC2=BC2又∵BC=5，两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2...
答案解析：（1）要证明无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根，就是证明△＞0，而△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1，所以△＞0；
（2）要得到△ABC是以BC为斜边的直角三角形，即要有BC2=AC2+AB2，然后根据根与系数的关系用k表示AC2+AC2，得到k的方程，解方程，再根据题意取舍即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值．
考试点：一元二次方程的应用．
知识点：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了勾股定理的逆定理和一元二次方程的解法．