已知函数f（x）=a-1|x|．（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=a-
．1 |x|
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
答
证明：（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）=a-
，1 x
设0＜x1＜x2，则x1x2＞0，x2-x1＞0．
f（x1）-f（x2）=（a-
）-（a-1 x1
）=1 x2
−1 x2
=1 x1
＜0．
x1−x2
x1x2
∴f（x1）＜f（x2），
即f（x）在（0，+∞）上是增函数
（2）由题意a＜
+2x在（1，+∞）上恒成立，1 x
设h（x）=2x+
，则a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．1 x
可证h（x）在（1，+∞）上单调递增．
故a≤h（1），即a≤3，
∴a的取值范围为（-∞，3]．
答案解析：（1）用函数单调性定义证明，先在给定的区间任取两变量，界定其大小，然后作差变形看符号．
（2）将f（x）＜2x为a＜
+2x在（1，+∞）上恒成立，只要再求得h（x）最小值即可．1 x
考试点：函数单调性的判断与证明．
知识点：本题主要考查函数单调性的证明以及用单调性求最值问题．