如图,△ABC为等腰直角三角形,BC是斜边,AD∥BC,BD交AC于点E且BD=BC.求证:CE=CD.

问题描述:

如图,△ABC为等腰直角三角形,BC是斜边,AD∥BC,BD交AC于点E且BD=BC.求证:CE=CD.

证明:
过D作BC的垂线交BC于M点,过A作BC的垂线交BC于N点,
则AN∥DM,
∵AD∥BC,
∴四边形ANMD是矩形,
∴DM=AN,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴BC=2AN=2DM,
∵BD=BC,
∴BD=2DM,
∵∠DMB为直角,
∴∠DBC=30°,
∴∠DEC=45°+30°=75°,
∵BD=BC,
∴∠BDC=

1
2
(180°-∠DBC)=
1
2
(180-30)=75°,
∴∠DEC=∠EDC,
∴CE=CD.