已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},其中p、q≠0,同时满足:①A∩B≠空集,②(CRB)∩A={-2},求p,q的值.

问题描述:

已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},其中p、q≠0,同时满足:①A∩B≠空集,②(CRB)∩A={-2},求p,q的值.

设x0∈A,则x0≠0,否则将有q=0与题设矛盾.
于是由x02+px0+q=0,两边同除以x02,得q(

1
x0
)2+
p
x0
+1=0,
1
x0
∈B,故集合A、B中的元素互为倒数.
由①知存在x0∈A,使得
1
x0
∈B,且x0=
1
x0

得x0=1或x0=-1.
由②知A={1,-2}或A={-1,-2}.
若A={1,-2},
则B={1,-
1
2
},有
p=−(1−2)=1
q=1×(−2)=−2

同理,若A={-1,-2},
则B={-1,-
1
2
},得p=3,q=2.
综上,p=1,q=-2或p=3,q=2.