如图,在⊙O中,AB为⊙O的弦,C、D是直线AB上两点,且AC=BD,求证:△OCD为等腰三角形.
问题描述:
如图,在⊙O中,AB为⊙O的弦,C、D是直线AB上两点,且AC=BD,
求证:△OCD为等腰三角形.
答
证明:(证法一)过点O点作OM⊥AB,垂足为M;∵OM⊥AB,∴AM=BM,∵AC=BD,∴CM=DM,又∵OM⊥AB,∴OC=OD,∴△OCD为等腰三角形.(证法二)连接OA,OB;∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∴△CBO≌△DAO,∴OC=OD,∴△OCD...
答案解析:此题解法较多,下面以拣两种常用的解法进行说明:
①连接OA、OB,由于OA、OB都是⊙O的半径,则OA=OB,且∠OAC=∠OBD,进而可得∠OAC=∠OBD,然后通过证△OAC≌△OBD得到OC=OD,即△OCD是等腰三角形的结论.
②过O作AB垂线,设垂足为M,由垂径定理可得AM=BM,已知AC=BD,那么CM=DM,即OM垂直平分线段CD,由此证得OC=OD,即△OCD为等腰三角形.
考试点:垂径定理;全等三角形的判定;等腰三角形的判定.
知识点:此题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定等知识,难度不大.