证明题:一整数a若不能被2和3整除,则a^2+23必能被24整除.证明:一整数a若不能被2和3整除,则a^2+23必能被24整除.

问题描述:

证明题:一整数a若不能被2和3整除,则a^2+23必能被24整除.
证明:一整数a若不能被2和3整除,则a^2+23必能被24整除.

证明:根据题意,a=6k+1 或a=6k+5,k为整数。
当a=6k+1时,
a^2+23=a^2-1+24
=(a+1)(a-1)+24
=6k(6k+2)+24
=12k(3k+1)+24
若k=2n,n为整数
原式=24n(6n+1)+24,能被24整除
若k=2n+1,
原式=12(2n+1)(6n+4)+24=24(2n+1)(3n+2)+24,能被24整除
当a=6k+5时
a^2+23=(a+1)(a-1)+24
=(6k+6)(6k+4)+24
=12(k+1)(3k+2)+24
当k=2n时,n为整数
原式=12(2n+1)(6n+2)+24=24(2n+1)(3n+1)+24,能被24整除
当k=2n+1时,
原式=12(2n+2)(6n+5)+24=24(n+1)(6n+5)+24,能被24整除
证毕

1.如果整数a不能被2整除,那它肯定是奇数
设a=2k-1,则 a^2+23=4k^2-4k+24
=4k(k-1)+24
k与k+1是两个连续的自然数,肯定有一个是偶数,所以
4k(k+1)+24 肯定是8的倍数,即 a^2+23必能被8整除
2.如果整数a不能被3整除,那它肯定是 形如 3m±1 的数,即被3除余1或者2
代入,有 a^2+23=(3m±1)^2+23=9k^2±6k+24=3(3k^±2k+8),肯定是3的倍数
即 a^2+23必能被8整除。
而 3,8是互质的,所以 a^2+23必能被24整除

证明如下:∵ a^2+23=(a^2-1)+24,只需证a^2-1可以被24整除即可.∵ a不能被2整除 ,∴ a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k=4k(k+1).∵ k、k+1为二个连续整数,故k(k+1)必能被2整除,∴ 8|4k(k+1...