如图,在平面坐标系中,A(a,0),B(0,b),且a,b满足(a-4)2+b+4=0,点C,B关于x轴对称.(1)求A、C两点坐标;(2)点M为射线OA上A点右侧一动点,过点M作MN⊥CM交直线AB于N,连BM,是否存在点M,使S△AMN=32S△AMB?若存在,求M点坐标;若不存在,说明理由.

问题描述:

如图,在平面坐标系中,A(a,0),B(0,b),且a,b满足(a-4)2+

b+4
=0,点C,B关于x轴对称.

(1)求A、C两点坐标;
(2)点M为射线OA上A点右侧一动点,过点M作MN⊥CM交直线AB于N,连BM,是否存在点M,使S△AMN
3
2
S△AMB
?若存在,求M点坐标;若不存在,说明理由.

(1)∵a,b满足(a-4)2+b+4=0,∴a-4=0,b+4=0,解得:a=4,b=-4,∴A(4,0),B(0,-4),∵C,B关于x轴对称,∴C(0,4);(2)连接AC,∵点C,B关于x轴对称,∴OM垂直平分BC,∴AB=AC,MB=MC,∴∠ACB=∠ABC...
答案解析:(1)由a,b满足(a-4)2+

b+4
=0,可求得a与b的值,即可求得A、B两点坐标,又由点C,B关于x轴对称,即可求得C的坐标;
(2)首先连接AC,易得AB=AC,MB=MC,可得∠MBA=∠MCA,继而证得MN=MB=MC,然后过点N作NE⊥x轴于E,可证得△OCM≌△EMN,再设AM=x,NE=4+x,由S△AMN
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S△AMB
,即可求得答案.
考试点:全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质;线段垂直平分线的性质.
知识点:此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及非负性.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合与方程思想的应用.