已知y=ln(x+√1+x＾2)..dy.但能不能 令 x = sec x 来代入计算?本人愚笨...请指教...正常解法..我懂了先对ln求导等于1/[x+√(1+x^2)]再对x+√(1+x^2)求导等于x'+[√(1+x^2)]'其中x'=1[√(1+x^2)]',先对根号求导,等于(1/2)*1/√(1+x^2)再对1+x^2求导等于2x所以对x+√(1+x^2)求导=1+2x/[2√(1+x^2)]=1+x/√(1+x^2)=[x+√(1+x^2)]/√(1+x^2)所以y'={1/[x+√(1+x^2)]}*[x+√(1+x^2)]/√(1+x^2)=1/√(1+x^2)但如果令x=sec x 代入计算...算出来dy=x dx ?!求解!唉...打错了= = 应该是y=ln(x+√1-x＾2)不过都采纳正确答案吧!!!
问题描述：
已知y=ln(x+√1+x＾2)..dy.但能不能 令 x = sec x 来代入计算?
本人愚笨...请指教...
正常解法..我懂了
先对ln求导
等于1/[x+√(1+x^2)]
再对x+√(1+x^2)求导
等于x'+[√(1+x^2)]'
其中x'=1
[√(1+x^2)]',先对根号求导,等于(1/2)*1/√(1+x^2)
再对1+x^2求导
等于2x
所以对x+√(1+x^2)求导=1+2x/[2√(1+x^2)]=1+x/√(1+x^2)=[x+√(1+x^2)]/√(1+x^2)
所以y'={1/[x+√(1+x^2)]}*[x+√(1+x^2)]/√(1+x^2)
=1/√(1+x^2)
但如果令x=sec x 代入计算...算出来dy=x dx ?!
求解!
唉...打错了= =
应该是y=ln(x+√1-x＾2)
不过都采纳正确答案吧!!!
答
不是不行，而是你令x=secx的话，不方便化简
你可以令x=shx 或者x=tanx
答
可以用三角代换,不过应该令x=tant,则t=arctanx,而
x+√(1+x²)=tant+sect=(1+sint)/cost=[1+cos(π/2-t)]/sin(π/2-t)=cot(π/4-t/2)
y=lncot(π/4-t/2)
dy/dx=dy/dt·dt/dx
=tan(π/4-t/2)·[-csc²(π/4-t/2)]·(-1/2)·1/(1+x²)
=1/sin(π/2-t) · 1/(1+x²)
=1/cost · 1/(1+x²)
=√(1+x²) · 1/(1+x²)
=1/√(1+x²)