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a是一个三位数，b是一个一位数，且ab，a2+b2ab+1都是整数，求a+b的最大值与最小值．

分类: 作业答案 • 2022-09-27 13:41:51
问题描述：

a是一个三位数，b是一个一位数，且

a
b
，
a2+b2
ab+1
都是整数，求a+b的最大值与最小值．

答

∵b|a，且（ab+1）|a2+b2，
∴

a2+b2
ab+1
=
a
b
+
b2−
a
b
ab+1
，
∵ab+1＞ab＞b2＞b2-
a
b
＞-1-ab，
∴b2-
a
b
=0，即a=b3，
当b=5时，a=125；
当b=9时，a=729；
则（a+b）的最大值为738，最小值为130．
答案解析：根据且
a
b
，
a2+b2
ab+1
都是整数可得出b|a，且（ab+1）|a2+b2，再根据ab+1＞ab＞b2＞b2-
a
b
＞-1-ab可得出a=b3，从而可得出
a+b的最大值及最小值．
考试点：整数问题的综合运用．
知识点：本题考查整数问题的综合运用，难度较大，解答本题的关键是利用整除的知识得出a=b3，从而为解答本题打开突破口．

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