线代题:向量b可由向量组a1,a2…as线性表示且表示法唯一,证a1,a2…as线性无关

问题描述:

线代题:向量b可由向量组a1,a2…as线性表示且表示法唯一,证a1,a2…as线性无关

此题可用反证法
假设a1,a2…as线性相关,那么存在不全为零的数使得k1*a1+k2*a2……+ks*as=0
而且b,a1,a2…as也是线性相关的,故向量b可由向量组a1,a2…as线性表示
又k1*a1+k2*a2……+ks*as=0可将第一个表达式中的某项代换
故存在了两种表示法,与之矛盾
所以a1,a2…as线性无关

因为 b可由向量a1,a2,...,as线性表示,且表示法唯一.
所以方程组 (a1,a2,...,as)x=b 有唯一解
所以 r(a1,a2,...,as)=r(a1,a2,...,as,b)=s
所以a1,a2,...,as线性无关