如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于点C,AC平分∠DAB,求证:AD⊥CD.
问题描述:
如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于点C,AC平分∠DAB,求证:AD⊥CD.
答
证明:连接OC,如图所示:
∵CD为圆O的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠OCD=90°,
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠OAC,
又OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC,
∴∠OCD+∠ADC=180°,又∠OCD=90°,
∴∠ADC=90°,
∴AD⊥DC.
答案解析:连接OC,由CD为圆O的切线,根据切线的性质得到OC与CD垂直,可得∠OCD为直角,由AC为角平分线,得到一对角相等,又OA=OC,根据等边对等角得到一对角相等,等量代换可得一对内错角相等,根据内错角相等,两直线平行得到OC与AD平行,再根据两直线平行,同旁内角互补,根据∠OCD为直角,可得∠ADC为直角,即AD与DC垂直,得证.
考试点:切线的性质;角平分线的定义;平行线的判定与性质.
知识点:此题考查了切线的性质,平行线的判定与性质,以及角平分线定义,遇到圆的切线此类题时,常常连接圆心与切点,根据切线的性质得垂直,利用直角三角形的性质来解决问题.