设A,B均为三阶矩阵,E是三阶单位矩阵.已知AB=2A+B,B=202040202,则(A-E)-1=______.

问题描述:

设A,B均为三阶矩阵,E是三阶单位矩阵.已知AB=2A+B,B=

2 0 2
0 4 0
2 0 2
,则(A-E)-1=______.


由:AB=2A+B,
知:AB-B=2A-2E+2E,
即:(A-E)B-2(A-E)=2E,
也就是:(A-E)(B-2E)=2E,
(A−E)•

1
2
(B−2E)=E,
于是:
(A-E)-1
1
2
(B−2E)
=
0 0 1
0 1 0
1 0 0

答案解析:先化简AB=2A+B,由于矩阵A是未知的,所以要分解成(A-E)C=D或者是C(A-E)=D,其中C和D不含有A,从而就能确定(A-E)-1
考试点:逆矩阵的定义和唯一性;可逆矩阵的性质.
知识点:本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题,应先分解出因式A-E,写成逆矩阵的定义形式,从而确定(A-E) 的逆矩阵.