秩为1的矩阵一定能分解成一个行矩阵和列矩阵的乘积（要求正向证明详细）
问题描述：
秩为1的矩阵一定能分解成一个行矩阵和列矩阵的乘积
（要求正向证明详细）
答
设（M×N）矩阵A的秩为1，
则存在M阶可逆的矩阵P,N阶可逆的矩阵Q使得
A=PBQ，
其中矩阵B中元素仅b11=1,其余bij=0，
B=[1,0,...,0]^T[1,0,...0]
A=P[1,0,...,0]^T[1,0,...0]Q
令D1=P[1,0,...,0]^T，D2=[1,0,...0]Q
则D1是行矩阵，D2是列矩阵，
A=D1D2。
答
设矩阵A秩为1,则A可以通过初等变换化为：
A=P1P2…Pm E Q1Q2…Qn （P,Q为初等矩阵,E为右上角数字为1,其余为0的矩阵）
而E可以化为一个行矩阵R（1,0,…,0）和列矩阵S（1,0,…,0）^T的乘积
故A=P1P2…Pm E Q1Q2…Qn=P1P2…PmS RQ1Q2…Qn
(P1P2…PmS即为所求的列矩阵,RQ1Q2…Qn即为所求的行矩阵)