正五边形ABCDE中,已知△ABC面积为1,则这正五边形面积是(  )A. 212B. 323C. 9−52D. 5+52

问题描述:

正五边形ABCDE中,已知△ABC面积为1,则这正五边形面积是(  )
A. 2

1
2

B. 3
2
3

C.
9−
5
2

D.
5+
5
2

∵正五边形ABCDE中,已知△ABC面积为1,
∴S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=S△ACB=S△ACF=1.
设S△AEF=x,则S△DEF=1-x,
∵△AEF的边AF与△DEF的边DF上的高相等,

DF
AF
1−x
x

∵△DEF∽△ACF,
S△DEF
S△ACF
=(
DF
AF
)2
(1−x)2
x2
=1−x

整理解得 x=
5
−1
2

故SABCDE=3S△ABC+S△AEF=
5+
5
2

故选D.
答案解析:由正五边形ABCDE中,已知△ABC面积为1,得出S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=S△ACB=S△ACF=1.△AEF的边AF与△DEF的边DF上的高相等,及△DEF∽△ACF,求出S△AEF,然后即可求出五边形ABCDE的面积.
考试点:正多边形和圆.
知识点:本题考查了正多边形的计算,解题时还用到了图形的面积及相似三角形的判定和性质的知识.