抛物线高中数学问题已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,x2),B(x1,x2)俩点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1/k2为定值

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本题的一般解法：
设抛物线y^2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）
（y1＞0，y2＜0）两点，M是抛物线的准线上的一点，O是坐标原点，若直线MA、MF、MB的斜率分别记为：kMA=a、kMF=b、kMB=c，（如图）
当b=2时，求证：a+c为定值．b=2时就是本题
设过抛物线y^2=2px（p＞0）的焦点F（p/2，0）的直线方程为y=k（x-p/2）或x=p/2（斜率k不存在），则 y^2=2px y=k(x-p/2) 得k/(2p)y^2 -y-px/2=0，∴y1y2=-p^2
当x=p/2（斜率k不存在）时，则A（p/2，p），B（p/2，-P），∴y1y2=-p^2
设A（(y1)^2/(2p)，y1），B（(y2)^2/(2p)，y2），M（-p/2，t），F（p/2，0），
由已知直线MA，MF，MB的斜率分别记为：kMA，=a，kMF=b，kMB=c，
得a=(y1-t)/(x1+p/2)，b=-t/p，c=(y2-t)/(x2+p/2)且x1=(y1)^2/(2p)，x2=(y2)2/(2p)
∴a+c=(y1-t)/(x1+p/2)+(y2-t)/(x2+p/2)=2t/p=2b
∵b=2，∴a+c=4∴a+c为定值．

对于这一类直线和二次曲线之间的交点以及斜率的问题，我们常常采用二次曲线系的方法，简介明快的得出解答
设直线AM斜率为k3，直线NB斜率为k4
由于这两条直线都过F（1,0），则直线AM并上直线NB的二次曲线方程C1为：
[y-k3(x-1)] · [y-k4(x-1)] = 0
我们设直线NM：y=k1x+b
同理直线AB并上直线MN的二次曲线方程C2为：
[y-k1x-b)] · [y-k2(x-2)] = 0
由于这两个二次曲线C1，C2的交点总是过抛物线y^2=4x
由二次曲线系的知识，必存在A，B
使得A · [y-k3(x-1)] · [y-k4(x-1)] + B · [y-k1x-b)] · [y-k2(x-2)] = y^2-4x……①
并且从上式可以观察到，A，B不为0。
对比①式左右两边x^2的系数得 Ak3k4 + Bk1k2 = 0
对比①式左右两边常数项系数得 Ak3k4 - 2Bbk2 = 0
结合上两式有k1=-2b
对比①式左右两边xy的系数得 A（k3+k4） + B（k1+k2） = 0
对比①式左右两边y的系数得 A（k3+k4） + B（2k2-b） = 0
结合上两式有k1+k2 = 2k2-b = 2k2+k1/2
得k2=k1/2
k1/k2= 2 为定制
得证。

焦点F(p/2,0)，过焦点的直线⽅程为 y=2√2(x-p/2)，代⼊抛物线⽅程y^2=2p x并化简得 4x^2-5px p^2=0 ① 由韦达定理可得 x1 x2=5/4*p ② x1x2=1/4*p^2 ③ 由|AB|=9可得 9=√[1 (2√2)^2]*√[(x1 x2)^2-4x1x2 ]=3*√[(5/4*p)^2-4*1/4*p^2]=3*3/4*p= 9/4*p 得p=4.于是抛物线⽅程为y^2=8x 向量OC=向量OA＋λOB，若C点与A点 重合，则λ=0； 若C点相异于A点，则C点必为过A点且平 ⾏于OB的直线与抛物线的交点。 将p=4代⼊⽅程①，有4x^2-20x 16=0， 解得x1=1,x2=4。依题意有y1=-2√2,y2 =4√2。于是有 A(1,-2√2),B(4,4√2).则直线OB的斜率 为4√2/4=√2,于是直线AC的⽅程为y 2 √2=√2(x-1)，即 y=√2(x-3)，代⼊y^2=8x，可得(x-1)(x-9)=0,解得x=1或x=9。显然x=1对应点A( 1,-2√2),x=9对应点C(9,6√2)。于是λ= AC/OB=(6√2-1)/(4-0)=(6√2-1)/4 （因 为斜率都是√2，故线段长度之⽐等于横 坐标差之⽐）。。。。望采纳，，谢谢

设AB：y=k(x+2)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
C(x3,y3),D(x4,y4)
∴ AM的方程是y=[y1/(x1-1)](x-1)
设 k0=y1/(x1-1)
则 AM：y=k0(x-1)
与抛物线方程联立
∴ k0²(x-1)²=4x
∴ k0²-(2k0²+4)x+k0²=0
利用韦达定理
x3*x1=1
∴ x3=1/x1
∴ y3=k0(x3-1)=[y1/(x1-1)]*[1/x1-1]=-y1/x1
即 M(1/x1,-y1/x1)
同理 N(1/x2,-y2/x2)
∴ k(MN)=(-y1/x1+y2/x2)/[1/x1-1/x2]
=[-y1x2+x1y2]/(x2-x1)
=[-k(x1+2)x2+k(x2+2)x1]/(x2-x1)
=k(2x2-2x1)/(x2-x1)
=k*2
∴ K(MN)/k(AB)=2
即 k(MN)/k(AB)=2
∴ k1/k2=2
∴ k1/k2是定值,为2
抱歉,原来的解答最后的几步输入错误,重新改动了.