已知一点坐标和平面方程,求此点在平面上的投影点的坐标.已知一点坐标M（x1,y1,z1)和一平面方程Ax+By+cZ+D=0求M点在平面上的投影M‘的坐标(x2,y2,z2)我需要一个公式,把M’的坐标用x1,y1,z1,A,B,C,D表示出来.只要求结果.过程可以大概讲一下让我知道结果是正确的即可.
问题描述：
已知一点坐标和平面方程,求此点在平面上的投影点的坐标.
已知一点坐标M（x1,y1,z1)和一平面方程Ax+By+cZ+D=0
求M点在平面上的投影M‘的坐标(x2,y2,z2)
我需要一个公式,把M’的坐标用x1,y1,z1,A,B,C,D表示出来.
只要求结果.
过程可以大概讲一下让我知道结果是正确的即可.
答
平面Ax+By+cZ+D=0的法向量为n=（A,B,C）,M点在平面上的投影M‘的坐标(x2,y2,z2)，所以
Ax2+By2+cZ2+D=0(1)，向量MM’=（x2-x1,y2-y1,z2-z1） 且MM’平行于 法向量n
即 （x2-x1）/A=(y2-y1)/B=(z2-z1）/C =k (2)
由（1）（2）解得k=(Ax1+By1+Cz1+D)/(A²+B²+C²) （3）
把（3）带回（2）得M‘（x1+kA,y2+kB，z2+kC ）
答
M'满足
x2=x1+kA
y2=y1+kB
z2=z1+kC
Ax2+By2+Cz2+D=0
解出k=-(Ax1+By1+Cz1+D)/(A方+B方+C方)
代回